零点存在性定理和海涅定理的证明小记

海涅定理内容涉及函数极限与数列极限间的关系，搭建了两者的桥梁。

必要性证明通过函数定义和数列极限定义，结合具体数列序列，证明了若函数极限存在，则相应的数列极限也存在。

充分性证明通过构造特定序列，证明若数列极限存在，则函数极限也存在，利用极限定义和条件一，直观构造序列满足题目要求。

海涅定理的第二种形式强调了函数在某点连续性对极限存在的影响，通过补救措施确保了必要性和充分性证明的严谨性。

实数连续性公理描述了实数填满数轴的性质，强调了无论两个子集如何接近，中间总存在至少一个实数，反映了实数集的连续性。

闭区间套定理确保了一列区间内存在唯一的实数满足特定条件，通过构造集合并应用连续性公理证明了存在性，而唯一性证明则通过反证法确保了唯一性。

零点存在性定理指出若函数在闭区间上连续且在区间端点的函数值符号相反，则存在零点，通过构造闭区间套并应用海涅定理和闭区间套定理推论，证明了定理的正确性。

介值定理在连续函数上下界存在的情况下，确保了存在至少一个点使得函数值等于上下界的中点，通过构造函数并应用零点存在性定理进行证明。