求数列的前n项和

证明数列的前n项和公式1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

证法一（数学归纳法）：

当n=1时，1 = 1 * (1+1) * (2×1+1) / 6 = 1，验证成立。

假设n=k时公式成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。

当n=k+1时，1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。

化简得：(k+1) [2k^2 + k + 6(k+1)] / 6 = (k+1) [2k^2 + 7k + 6] / 6 = (k+1)(2k+3)(k+2) / 6 = (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] / 6。

由此，公式对于n=k+1也成立。根据归纳法原理，公式（*）在所有自然数n上都成立。

证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：

(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1

n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1

...

3^3 - 2^3 = 3 * (2^2) + 3 * 2 + 1

2^3 - 1^3 = 3 * (1^2) + 3 * 1 + 1

将这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3 - 1 = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2) + 3(1+2+3+…+n) + n

由于1+2+3+…+n = (n+1)n/2，代入上式得：

n^3 + 3n^2 + 3n = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2) + 3(n+1)n/2 + n

整理后得：

1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。