力学突变模型

7.4.3.1 力学模型

在岩石力学领域，一方面很多问题可通过建立模型或实测等手段定量化，另一方面由于岩石问题的复杂性，很多问题只能作定性分析［85］。基于突变理论的特点，在分析岩石稳定性问题时，一般采取如下的步骤：

（1）调查地质原型，建立地质模型及相应的力学模型，

（2）用弹性理论得出系统的总势能，建立势函数表达式，再利用Taylor展开式作变量代换将势函数化为尖点突变的标准形式见式（6.10），对V求导，得到平衡曲面见式（6.11）以及分叉集方程见式（6.12）。

（3）只有当u≤0时才有跨越分叉集的可能，故得系统发生突跳的必要条件为u≤0。

从力学的观点看，控制底板突水的主要作用力有：煤层底板下伏含水层的水头压力、矿山压力、地应力、煤层底板与下伏含水层之间相对隔水层的重力、相对隔水层内部的连接力（岩体抗拉强度）。其中水头压力和矿山压力是破坏隔水层底板、促使底板突水的作用力；隔水层底板的重力和强度则是维护底板完整性、遏制底板突水的约束力。当约束力足以平衡作用力时，则底板保持稳定，否则就可能发生底鼓、破裂和突水［85］。

图7.17 回采工作面示意图

下面取万年矿一回采工作面13268进行研究，设ABCD为采煤工作面与老顶冒落区之间的矩形采空区（图7.17）。AB边为采煤工作面，长度为Ly；CD边为老顶冒落区的边界；AB至CD的距离为Lx，其值一般相当于周期来压的距离。相对隔水层的厚度为h。此矩形采空区的底板四周都是被紧密地压在上下岩层之间，可以认为是固定的。故ABCD可以近似地被认为是一个厚度为h的四边固定的由复杂岩石组成的矩形板。作用在底板上的各种作用力，按照力的分解与合成规则，可以归结为水平力N和垂直力P。在上述各种力的作用下，由于煤矿底板的底鼓变形与材料力学中梁的变形相似，所以沿Ly方向取一截面进行研究，并将Ly方向的截面简化为一简支平直梁（图7.18）。其中：梁长为L＝Ly，垂直宽度为h，水平宽度为d＝Lx，并且L＞h，d≈h，E为弹性模量，Ⅰ为惯性矩，EI为梁的抗弯强度，N为水平力，作用于梁的两端。假设向上的作用力P均匀地分布在梁上，s为沿着梁的长度，s∈［0，L］，并设ω是点s的竖直位移，δ为轴线中点的位移［82］。可以证明，s的竖直位移ω可以近似地表示为

图7.18 底板变形简化模型

煤矿底板突水

由于梁的变形量由梁变形后的曲率k表示，而

煤矿底板突水

从而梁的应变能近似为

煤矿底板突水

设梁在受横向作用力N后，两端的位移为λ，则：

煤矿底板突水

由于当｜f′（s）｜1时，有f′2（s）1，因此根据二项展开式有 f′2（s）

煤矿底板突水

因此，水平力所做的功为

煤矿底板突水

垂直向上的力P在加载过程中所做的功为

煤矿底板突水

由弹性理论可知，任一结构体的总势能，可表示为结构的应变能和荷载势能的组合，所以，系统的总势能可近似地表示为［82］。

煤矿底板突水

式中：I为岩梁横截面的惯性矩；EI为保护带岩梁的抗弯刚度，MPa；式7.20就是底板力学模型的岩梁结构的系统势函数表达式。

7.4.3.2 尖点突变模型

弹性结构的不稳定性，很大程度上取决于一个势的局部极小值的消失。因此，要确定系统的平衡状态，首先要给出势函数在该过程中总势能函数的表达式，再确定系统的平衡曲面及分歧点集，最后确定系统发生失稳的应力条件。由式（7.21）可以看出，采空区底板在受力状态下的总势能V可近似地看成是以底板的中点位移δ为状态变量，水平力N、垂直力P为控制变量的尖点突变模型［82］。

设

煤矿底板突水

则

煤矿底板突水

令V′（δ）＝0，求出平衡曲面M

煤矿底板突水

令V″（δ）＝0，求出奇点集S：

煤矿底板突水

由式（13），（14）可解得分歧点集B所满足的方程为

煤矿底板突水

将式（11）代入（15）中得公式

煤矿底板突水

为集S相应于N－P的方程，对应于N－P平面的图形见图7.19。

图7.19 分叉集B对控制空间N－P的划分

根据水平力N及垂直力P所确定的控制点（N，P），讨论底板受力平衡状态［68］。

（1）D是系统稳定平衡的临界点，满足Δ＝0，即P0＝0， 故水平力N0是稳定平衡的临界力。

若用水平应力表示则为 底板突水的必要条件是σN＞σN0。

（2）当N，P满足Δ＞0时，控制点（N，P）在分歧集的外部。此时水平应力σN＞σN0或σN＜σN0，但只要控制点（N，P）不穿越分叉集时，垂直力的变化使底板的变形是稳定的。

（3）当N，P满足Δ＜0时，控制点（N，P）在分叉集B的内部（图7.19的阴影部分）变化，水平力N＞N0，即水平应力σN＞σN0，此时，只要（N，P）不穿越分歧集B则系统是稳定的，不会发生突变。

（4）分叉集B1，B2是系统的不稳定平衡点集，满足Δ＝0（N，P不同时为0），对应的平衡点为

煤矿底板突水

δ1是稳定平衡点，δ2＝δ3是不稳定平衡点。当控制点（N，P）在分歧集B的内部变化，且对于固定的N，垂直力P逐渐增加，则当控制点（N，P）到达分叉集B2时，系统发生突跳（底鼓），突跳量为

煤矿底板突水

突跳前后系统的能量之差为ΔV，用泰勒展开式可表示为

煤矿底板突水

由公式（7.30）可看出，突跳时系统的能量骤然减少，从而导致底板结构的突然破坏、断裂，产生突水。因此，煤矿底板突水问题，与底板所受垂直力和水平力的联合作用关系密切，在弹性限度内，σN＞σN0是突水的必要条件，即

煤矿底板突水

是突水的充分条件。要保证煤矿安全开采，则要及时观测水平力N及垂直力P，使其不穿越分叉集。

奥灰水虽是9＃煤层的直接水源，但对其他煤层同样存在威胁。因此本研究主要是对奥灰承压水对2＃至9＃煤层底板的影响。本矿区目前工作面斜长为100～120m。根据万年矿的地质资料和钻孔资料可知，得到各煤层平均弹性模量E，2＃、4＃、6＃煤层底板岩性为粉砂岩，而7＃、8＃、9＃煤层底板岩性为粉砂质泥岩，由于万年矿与五矿煤层性质相似，参考工程地质手册及峰峰五矿矿区［83］。各煤层底板的基本参数，可知万年矿底板粉砂岩弹性模量E＝507MPa，粉砂质泥岩弹性模量E＝419.6MPa；参数取值见表7.6。由

表7.6 煤矿中常见岩石的基本物理参数

h2＝H－h1－h3可计算得到底板有效隔水层厚度h2，其中，H为煤层开采深度；是采动底板破坏带（h1）、有效隔水层带（h2）与导高带（h3）厚度之和。依据万年矿水文地质报告及钻孔资料，可得到煤层开采深度Hk与正常开采阶段的h3＝3m；采动底板破坏深度h1由经验公式［35］：

煤矿底板突水

式中：hp为底板矿压破坏深度，m；L为工作面的倾斜长度，m；Hk为煤层开采深度m；f为底板岩层的坚固系数；正常岩层地段取f＝2.86；断层破坏地段取f＝0.06；α为岩层倾角（rad）；正常岩层地段取α＝π/18；断层破坏地段取α＝π/6。

计算见下表7.7。根据I＝（h2）4/12求得l。因此，可计算得到抗弯强度EI值。根据万年矿的水文地质资料可以得到各煤层受奥灰承压水的水压P，由经验公式得到水平力N＝1.2P。根据上述已知数据计算公式（7.31）可得到Δ值，并进行突水判别。

表7.7 万年矿各煤层突水判别表

注：H为采动底板最大破坏深度（h1）、有效隔水层带（h2）与导高带（h3）厚度之和；E为平均弹性模量；P为垂直力，这里用水压表示；N为水平力。

通过对于其他煤层的突水判别（表7.7），可得正常开采时：2＃、4＃、6＃煤三个开采水平Δ＞0，其完全不受奥灰突水的威胁；7＃煤－200m开采水平Δ＞0，也不会发生奥灰突水；7＃煤－400m开采水平、7＃煤－600m开采水平及8＃、9＃煤三个开采水平Δ＜0，则σN＞σN0，存在奥灰突水的可能。

根据万年矿实际突水资料分析可知，2＃煤层发生突水的原因多是遇断层或裂隙，发生突水的水岩是薄层灰岩水。因此，采用上述判据公式并考虑断层的因素，对2＃、4＃、6＃煤层按不同水平进行突水判别。由上述公式计算可得，在开采阶段遇断层时，底板的弹性模量会有所下降，降低为原来的20％。2＃、4＃煤层直接含水层是大煤和大青灰岩含水层，因此水压取大青灰岩水水压。9＃煤层下伏含水层是伏青灰岩含水层，水压取伏青灰岩水水压。各煤层突水判别见表7.8 。

表7.8 遇断层时底板突水判别计算表

注：表中各符号与表7.7中的符号相同。